Решение логарифмических уравнений

Решение логарифмических уравнений является одним из пунктов математической подготовки учащихся школ, однако очень часто именно здесь у учеников возникают проблемы. Такого рода проблемы связаны с разнообразием методов решения и вопросами корректного их применения к определенным типам логарифмических уравнений. И в таком случаем что может быть лучше практики? Практика и подробно рассмотренные примеры.

Для успешного решения логарифмических уравнений важно твердое знание определения логарифма и его свойств. Итак, определение логарифма.

Определение: Логарифмом числа b по основанию a (обозначается log_ab) называется такой показатель степени, в которую нужно возвести число a чтобы получить число b. 


Понятие логарифма тесно связано с понятием показателя степени. То есть чтобы найти  n = log_ab  нужно решить уравнение aⁿ = b.

Свойства логарифма и основные формулы.

Примечание: Свойство 1 называется основным логарифмическим тождеством, формула 9 называется формулой перехода к новому основанию, а формула 10 является следствием из формулы 9.

Пример 1. Решите следующее уравнение:

Решение:  Для решения данного уравнения, как и для уравнений подобного вида достаточно воспользоваться определением логарифма, то есть выразить число x как степень основания логарифма, который в нашем случае равен 2, причем показатель степени равняется выражению указанному в правой части уравнения (в нашем случае это 4).

Пример 2.  Решите следующее уравнение:

Решение: Решаем как и предыдущий пример - используем определение логарифма. 

Примечание. Для решение уравнения требуется воспользоваться определением степени числа с отрицательным показателем:

Пример 3.  Решите следующее уравнение:

Решение: Решаем как и предыдущий пример - используем определение логарифма. 

Примечание. Для решение уравнения требуется воспользоваться определением степени числа с рациональным показателем:

Пример 4  Решите следующее уравнение:

Решение:  

Примечание. В записи уравнения использовалась общепринятая сокращенная запись для логарифма с основанием 10:

Запомните это!

Продолжение